BZOJ1426 收集邮票 期望概率

发布于 2017-07-26  2.53k 次阅读


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Description

有n种不同的邮票,皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买,每次只能买一张,并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的,概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票,所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票,皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

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这道题已经听达哥和meaty讲了两种方法了,但是感觉还是有些麻烦,怂了一波题解之后,自己又推了推式子,找到了一个既好理解又容易实现的做法。

首先,第i张购买的邮票花费为i元,等效于“每张邮票原价1元,买了一张邮票后,其他邮票都涨了1元”。

设f[i]:当前已买到i种邮票,买全邮票的期望次数;g[i]:当前已买到i种邮票,买全邮票的期望花费。

f(i)= 1  (多买1次)  +  (n-i)/n * f(i+1) (抽到新邮票)  +   i/n *f(i) (抽到原有邮票)

--->>  f[i]=f[i+1]+n/(n-i);  (0<=i<n,f[n]=0)

g(i)= 1  (原价1元)  +  (n-i)/n * (g(i+1)+f(i+1)) (抽到新邮票)  +   i/n * (g(i)+f(i)) (抽到原有邮票)

--->> g[i]=f[i+1]+i/(n-i)*f[i]+g[i+1]+n/(n-i);  (0<=i<n,g[n]=0)

这样,O(n)递推一下就好啦。

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