BZOJ2510 弱题 循环矩阵+DP

发布于 2017-07-29  3.54k 次阅读


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Description

M个球,一开始每个球均有一个初始标号,标号范围为1~N且为整数,标号为i的球有ai个,并保证Σai = M
每次操作等概率取出一个球(即取出每个球的概率均为1/M),若这个球标号为kk < N),则将它重新标号为k + 1;若这个球标号为N,则将其重标号为1。(取出球后并不将其丢弃)
现在你需要求出,经过K次这样的操作后,每个标号的球的期望个数。

Input

第1行包含三个正整数NMK,表示了标号与球的个数以及操作次数。
第2行包含N非负整数ai,表示初始标号为i的球有ai个。

Output

应包含N行,第i行为标号为i的球的期望个数,四舍五入保留3位小数。

Sample Input

2 3 2
3 0

Sample Output

1.667
1.333

HINT

【样例说明】

第1次操作后,由于标号为2球个数为0,所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球,有1个标号为2的球。

第2次操作后,有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球(此时标号为1的球有3个),有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球(此时标号为1的球有1个),所以标号为1的球的期望个数为1/3*3+2/3*1 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。

【数据规模与约定】

对于10%的数据,N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10;

对于20%的数据,N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20;

对于30%的数据,N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100;

对于40%的数据,M ≤ 1000, K ≤ 1000;

对于100%的数据,N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。

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DP方程很裸,$$f_{i}=\frac{1}{m}*f_{i-1}+\frac{m-1}{m}*f_{i}$$,但是数据范围告诉我们裸的DP过不去,甚至连O(n^3logk)也过不去。仔细观察,这是一个循环矩阵,每一行都是第一行移位得到的,即Bi,j=Bi+1,j+1因此,可以利用这个性质,只保存矩阵的第一行即可。考虑矩阵乘的公式C1,j=A1,k*Bk,j,C、A都只有第一行,而对于B可以转换到第一行,很好搞,注意在算B的位置时,取模可能会出现0,特判一下。

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